2016-08-14

ARC059 : F - バイナリハック / Unhappy Hacking

追記3:

yosupoが最新版の解説を書いたようです。こちらを見ましょう。

yosupo.hatenablog.com

以下は旧記事です。

AtCoder Regular Contest 059 で出題された F - バイナリハック / Unhappy Hacking の O(n)解法です。

解説はコードに埋め込みました。カタラン数云々は http://www.mtholyoke.edu/~jjlee/Teaching/Intro_to_Catalan.pdf を見て下さい。

atcoderの提出はこちら Submission #839457 - AtCoder Regular Contest 059 | AtCoder

追記:

今回使ったA126087 - OEISにある漸化式ですが、 Conjectureだそうです。一応 n <= 3000まで正しい事は確認しましたが、気になる方がいるようなので追記します。

追記2: magicを使わなくても解けたようです。

Submission #839587 - AtCoder Regular Contest 059 | AtCoder

解説

@__math 最終的にK文字以下ってのを逆から考えると(0, -M)から(N-i, -M+i)へのカタラン経路数にの総和になるから、それを求める
— メロンパンファクトリー (@yosupot) 2016年8月13日

以下は旧コード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define FOR(i,n) for(int i = 0; i < (n); i++)
#define sz(c) ((int)c.size())
#define ten(n) ((int)1e##n)
using ll = long long;

const int MOD = ten(9) + 7;
const int N = ten(4);

// O(N)
ll inverse[N];
void init_inverse() {
    inverse[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) inverse[i] = (MOD - MOD / i) * inverse[MOD%i] % MOD;
}

// O(N)
ll fact[N], infact[N];
void init_fast_fact() {
    init_inverse();
    fact[0] = fact[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    infact[0] = infact[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) infact[i] = infact[i - 1] * inverse[i] % MOD;
}

// O(1)
ll fast_nCk(int n, int k) {
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    if (k > n) return 0;
    ll ret = fact[n] * infact[k] % MOD * infact[n - k] % MOD;
    return ret;
}

//O(1)
ll pseudo_catalan(int a, int b, int c) {
    if (c == a - 1) b--, c--;
    if (c == b - 1) a--, c--;
    ll ret = fast_nCk(a + b - 2, a - 1) - fast_nCk(a + b - 2, c - 1);
    if (ret < 0) ret += MOD;
    return ret;
}

int solve(int n, int m) {
    // O(n) にできるが、今回は十分に大きい定数回回している
    init_fast_fact();

    // https://oeis.org/A126087
    // magic[i] = i回タイプした時、文字列が空になるようなキーの押し方の個数
    // O(n)
    vector<ll> magic = { 1, 1, 3 };
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        ll tmp = 3 * (i + 1) * magic[i - 1] + 8 * (i - 2) * magic[i - 2] - 24 * (i - 2) * magic[i - 3];
        magic.push_back(tmp % MOD * inverse[i + 1] % MOD);
        if (magic[i] < 0) magic[i] += MOD;
    }

    // 2の累乗
    // O(n)
    vector<ll> power_of_2;
    power_of_2.push_back(1);
    FOR(i, n) power_of_2.push_back(power_of_2.back() * 2 % MOD);

    ll ans = 0;
    FOR(s, n) {
        // ループ内はO(1)
        //
        // |------|X|-------|
        // <------>^<------->
        //    |    |    |
        //    s    | rem - 1
        //         s回目(0-indexed)
        //
        // 前半s回のタイプ後、文字列の長さが0
        // s+1回目、最初の文字を打つ
        // 後半、s+2回目以降は、文字列が空にならないよう注意しながらタイピング
        // こうすると重複せず数え上げられる
        //
        // 前半はmagicに係数が入っているので、後半のs+2回目以降のタイプの仕方について数え上げればよい

        const int rem = n - s; //後 rem 回タイプ出来る
        if (rem < m) continue;
        if ((rem - m) % 2 != 0) continue;

        const int B = (rem - m) / 2; // s+2回目以降のバックスペースの回数
        const int A = rem - B; // s+2回目以降タイプする文字列 (= {0,1}をタイプする回数)

        const ll a1 = B == 0 ? 1 : pseudo_catalan(A , B + 1, B); //カタラン数の計算方法と同じやつ
        // バックスペースで消される文字列は{0,1}のどっちでもいいので、 2^B  を掛ける
        const ll s_ans = a1 * power_of_2[B] % MOD * magic[s] % MOD;
        ans += s_ans;
    }

    return int(ans % MOD);
}

int main() {
    int n; cin >> n;
    string s; cin >> s;
    int m = sz(s);
    int ans = solve(n, m);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

2016-06-05

n以下の素数のsumを高速に計算する

動機
問題概要
準備
計算量
- \(1 \le p_b \le n^{1/4} \) の時
- \(n^{1/4} \le p_b \le n^{1/2} \) の時
素直なプログラム
最適化したプログラム
余談

動機

Project Euler で、n以下の素数の合計を求める問題がありました。 Problem 10 - Project Euler

この問題は2*10⁶以下の素数の合計を求めるだけなので簡単なのですが、Lucy_Hedgehog さんという方が面白いアルゴリズムをpostしていました。

せっかくなので、なるべく初心者にも分かりやすいようにアルゴリズムの概要を説明したいと思います。アルゴリズムとか計算量とかどうでもいい人は、

optimized_prime_sum.cpp · GitHub

のプログラムをコピペして使って下さい。

問題概要

競技プログラミングで以下のような問題が出た場合、どう実装すればいいでしょう？

\(n\)以下の素数の合計を出力して下さい。ただし、n <= 10⁶

エラトステネスの篩を使えばn以下の素数の列挙は \( O(n \log\log (n)) \) で出来るので、このアルゴリズムで十分だと思います。

では次の制約の場合はどうでしょうか。

\(n\)以下の素数の合計を出力して下さい。ただし、n <= 10¹²

答えは 64bitに収まらないので、10⁹ + 7で割った値を答えて下さい。

アトキンの篩を使えば計算 \( O(n / \log\log(n)) \) , 空間 \( O(n^{1 / 2}) \) で計算出来る(らしい)ので、これで十分かも知れません。が、今回は計算 \( O(n^{3/4}) \), 空間\( O(n^{1 / 2}) \) で計算出来る方法を紹介したいと思います。

2015-09-29

ISUCON5 オンライン予選通過しました

優勝賞金100万円！今年もやります ISUCON5 開催と日程のお知らせ #isucon : ISUCON公式Blog

「お題となるWebサービスを決められたレギュレーションの中で限界まで高速化を図るチューニングバトル、それがISUCONです。過去の実績も所属している会社も全く関係ない、結果が全てのガチンコバトルです。」(公式説明)であるISUCON5のオンライン予選に参加してきました。

...

ISUCONは Iikanjini Speed Up Contest の略で、Webアプリケーションがデプロイされたイメージを渡されて、その上で何をしてもいいからとにかくパフォーマンスを上げることが競技内容です。

ISUCON5オンライン予選に参加してきた « chibiegg日誌

ということで参加してきました。

チームマウント竹田氏(メンバー: @misodengaku, @chibiegg, @__math) で出ていました． 16位で予選通過です。いつもは @aki33524 も参加するんですが、上限が3人までということだったので、裏番組のTrend Micro CTFを頑張ってもらいました…、きひろくんごめん。

他のメンバーの参加記です