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ARC059 : F - バイナリハック / Unhappy Hacking

追記3:

yosupoが最新版の解説を書いたようです。こちらを見ましょう。

yosupo.hatenablog.com

以下は旧記事です。

AtCoder Regular Contest 059 で出題された F - バイナリハック / Unhappy Hacking の O(n)解法です。

解説はコードに埋め込みました。 カタラン数云々は http://www.mtholyoke.edu/~jjlee/Teaching/Intro_to_Catalan.pdf を見て下さい。

atcoderの提出はこちら Submission #839457 - AtCoder Regular Contest 059 | AtCoder

追記:

今回使ったA126087 - OEISにある漸化式ですが、 Conjectureだそうです。一応 n <= 3000まで正しい事は確認しましたが、気になる方がいるようなので追記します。

追記2: magicを使わなくても解けたようです。

Submission #839587 - AtCoder Regular Contest 059 | AtCoder

解説

以下は旧コード

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define FOR(i,n) for(int i = 0; i < (n); i++)
#define sz(c) ((int)c.size())
#define ten(n) ((int)1e##n)
using ll = long long;

const int MOD = ten(9) + 7;
const int N = ten(4);

// O(N)
ll inverse[N];
void init_inverse() {
    inverse[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) inverse[i] = (MOD - MOD / i) * inverse[MOD%i] % MOD;
}

// O(N)
ll fact[N], infact[N];
void init_fast_fact() {
    init_inverse();
    fact[0] = fact[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
    infact[0] = infact[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) infact[i] = infact[i - 1] * inverse[i] % MOD;
}

// O(1)
ll fast_nCk(int n, int k) {
    if (n < 0 || k < 0) return 0;
    if (k > n) return 0;
    ll ret = fact[n] * infact[k] % MOD * infact[n - k] % MOD;
    return ret;
}

//O(1)
ll pseudo_catalan(int a, int b, int c) {
    if (c == a - 1) b--, c--;
    if (c == b - 1) a--, c--;
    ll ret = fast_nCk(a + b - 2, a - 1) - fast_nCk(a + b - 2, c - 1);
    if (ret < 0) ret += MOD;
    return ret;
}

int solve(int n, int m) {
    // O(n) にできるが、今回は十分に大きい定数回回している
    init_fast_fact();

    // https://oeis.org/A126087
    // magic[i] = i回タイプした時、文字列が空になるようなキーの押し方の個数
    // O(n)
    vector<ll> magic = { 1, 1, 3 };
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        ll tmp = 3 * (i + 1) * magic[i - 1] + 8 * (i - 2) * magic[i - 2] - 24 * (i - 2) * magic[i - 3];
        magic.push_back(tmp % MOD * inverse[i + 1] % MOD);
        if (magic[i] < 0) magic[i] += MOD;
    }

    // 2の累乗
    // O(n)
    vector<ll> power_of_2;
    power_of_2.push_back(1);
    FOR(i, n) power_of_2.push_back(power_of_2.back() * 2 % MOD);

    ll ans = 0;
    FOR(s, n) {
        // ループ内はO(1)
        //
        // |------|X|-------|
        // <------>^<------->
        //    |    |    |
        //    s    | rem - 1
        //         s回目(0-indexed)
        //
        // 前半s回のタイプ後、文字列の長さが0
        // s+1回目、最初の文字を打つ
        // 後半、s+2回目以降は、文字列が空にならないよう注意しながらタイピング
        // こうすると重複せず数え上げられる
        //
        // 前半はmagicに係数が入っているので、後半のs+2回目以降のタイプの仕方について数え上げればよい

        const int rem = n - s; //後 rem 回タイプ出来る
        if (rem < m) continue;
        if ((rem - m) % 2 != 0) continue;

        const int B = (rem - m) / 2; // s+2回目以降のバックスペースの回数
        const int A = rem - B; // s+2回目以降タイプする文字列 (= {0,1}をタイプする回数)

        const ll a1 = B == 0 ? 1 : pseudo_catalan(A , B + 1, B); //カタラン数の計算方法と同じやつ
        // バックスペースで消される文字列は{0,1}のどっちでもいいので、 2^B  を掛ける
        const ll s_ans = a1 * power_of_2[B] % MOD * magic[s] % MOD;
        ans += s_ans;
    }

    return int(ans % MOD);
}

int main() {
    int n; cin >> n;
    string s; cin >> s;
    int m = sz(s);
    int ans = solve(n, m);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}